Mari Belajar Induksi Matematika Gampang dan Mudah

0
52

Seorang pria dengan topeng Guy Fawkes menyusun dan domino lalu seketika berubah menjadi dramatis karena diakhiri scene runtuhnya susunannya membentuk inisial perjuangannya. Tetapi sekarang bukan film atau tentang aktornya yang piawai ini berkaitan dengan bermain-main dengan philosophy of mathematics  melalui induksi matematika dan kaitannya efek sekuensial dari jatuhnya domino.

  • Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Induksi matematika terbagi 2 yaitu umum dan kuat :

belajar induksi matematika mudah

A.Matematika Umum
Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

  1. Bilangan (termasuk jumlah deret)
  2. Pertidaksamaan
  3. Faktor (termasuk kali atau bagi)
  4. Faktorisasi
  5. Barisan

B.Matematika Kuat
Misalkan S(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar

S(a), S(a + 1), …, dan S(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka S(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, S(n) benar. (Asumsi bahwa S(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(k) semuanya bernilai benar.)

  1. Bilangan (termasuk jumlah deret)
  2. Barisan
  3. Teori 

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

  1. P(1) benar, dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar

maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)
Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat Langkah ke 2  tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Kesimpulan dari Konsep Dasar Induksi Matematika

Lakukan dua langkah berikut ini:

  1. Buktikan bahwa rumus tersebut benar untuk nilaiP dasar (buktikan untuk P=1). 
  2. Buktikan bahwa jika rumus tersebut benar untukP=k, maka rumus tersebut juga benar untuk P=k+1.

Menghitung jumlah deret tersebut untuk p atau n bilangan asli berapapun, tidak perlu repot-repot menjumlahkan satu per satu tetapi tinggal menambahkan saja nilai n ke dalam rumus tersebut. Rumus jumlahnya sebagai berikut :

induksi matematika mudah

Bagaimana Membuktikannya?

Nah, sebelum masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, coba kita tes dulu apakah nilai Sp itu benar untuk nilai-nilai p yang sebelumnya sudah di hitung. Kita mulai dari p=2.

Dalam matematika, seseorang tidak bisa melakukan generalisasi untuk bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk semua kasus, anda harus benar-benar bisa membuktikan bahwa rumus Sn ini benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli.

Bagaimana kedua langkah diatas dapat membuktikan Sn benar untuk SEMUA nilai n bilangan asli?

Jawabannya adalah, karena efek domino.

Efek Domino

Memangnya apa hubungan antara domino dengan induksi matematika? Coba kita lihat kedua langkah tersebut satu per satu ya. Mulai dari langkah pertama.

LANGKAH 1: Buktikan bahwa Sn benar untuk n=1.

Langkah pertama ini gampang banget. Tinggal kita masukkan nilai n=1 ke persamaan, terus kita hitung deretnya, beres. Kesimpulannya: S1 benar (Sn benar untuk n=1). Lanjut ke langkah 2.

LANGKAH 2: Buktikan bahwa jika benar untuk n=k, maka dia benar juga untukn=k+1.

Ini bagian menariknya. Karena pada langkah pertama kita sudah membuktikan bahwa Snbenar untuk n=1, berarti dia benar juga untukn=2. Kalau Sn benar untuk n=2, maka Sn benar juga untuk n=3. Kalau Sn benar untuk n=3, maka Sn benar juga untuk n=4. Dan seterusnya sampai n tak hingga.

Kesimpulannya adalah, Sn benar untuk n=4.  Hingga pada suatu titik kalau proses ini di lanjutkan, maka akan mendapatkan kesimpulan bahwa Sn benar untuk semua n bilangan asli.

Inilah sebabnya Induksi Matematika sering juga dikait-kaitkan dengan efek domino. Seperti efek domino, meskipun kita cuma menjatuhkan domino yang pertama, akibatnya adalah seluruh domino tersebut akan jatuh secara bergantian.

Rumus Sn benar untuk semua n bilangan asli! Q. E. D.*

efek domino induksi matematika

*) Q.E.D. itu singkatan dari Quod Erat Demonstrandum. Bahasa latin yang jika diterjemahkan secara bebas, kira-kira artinya sama dengan, “Telah dibuktikan kebenarannya”.

Nah, itu dia pembelajaran tentang induksi matematika semoga bisa membantu teman teman semua yang sedang mempelajari induksi matematika.

Referensi Tentang Induksi Matematika

Induksi matematika – wikipedia
Membuktikan Rumus dengan Induksi Matematika – www.zenius.net
25 soal dan pembahasan induksi matematika – yos3prens.wordpress.com

LEAVE A REPLY

Please enter your comment!
Please enter your name here